La convexité d’une obligation

convexité d'une obligation

La convexité d’une obligation est un sujet souvent méconnu des investisseurs. Elle permet pourtant d’expliquer le comportement des obligations dans certaines situations.

Aujourd’hui, avec un marché des actions en hausse constante et sans baisse significative depuis 2008, beaucoup d’investisseurs restent concentrés sur les actions. Dans un contexte actuel de taux bas, ils se demandent même où est l’intérêt de posséder des obligations.

L’objectif n’est pas d’expliquer le rôle des obligations dans un portefeuille, mais nous verrons que les obligations peuvent être très performantes, même en période de taux bas.

Comprendre la convexité des obligations n’est pas nécessaire pour investir (de même qu’il n’est pas indispensable de comprendre ce qu’il y a sous le capot pour conduire une voiture). Néanmoins, les plus curieux pourront s’intéresser aux mécanismes qui régissent le comportement d’un portefeuille ou d’une classe d’actifs dans une situation donnée.

Aussi, je suis convaincu que mieux on comprend ce dans quoi on investit, plus on est à même d’appliquer une stratégie sur le long terme, et donc d’être récompensé au bout du compte.

Avant de définir la convexité, il est toujours utile de rappeler ce qu’est une obligation, ainsi que le risque de taux.

Qu’est-ce qu’une obligation ?

Une obligation est un titre de créance, émis par un organisme (public, comme un état, ou privé, comme une entreprise), dans le but de se financer.

Un investisseur en obligations possède ainsi une petite partie de la dette d’une entreprise ou d’un état. En échange de la mise à disposition de ses capitaux, l’investisseur reçoit un intérêt annuel (le coupon), en guise de rémunération. Chaque obligation a une durée de vie définie à l’avance (son échéance), à l’issue de laquelle le capital est remboursé à l’investisseur (le créancier de l’émetteur de l’obligation).

Par exemple, une obligation ayant une échéance de quatre ans distribue un coupon chaque année. La quatrième année, le coupon est accompagné du principal, qui est remboursé.

Coupon d'une obligation
Source : https://corporatefinanceinstitute.com/

La valeur du coupon sert à compenser le risque de non-remboursement. C’est la raison pour laquelle :

  • Une obligation d’un pays stable économiquement et développé, comme l’Allemagne ou les États-Unis sera considérée comme plus sûre, et distribuera donc un coupon plus faible, qu’une obligation d’un pays émergent, comme l’Indonésie ou le Brésil.
  • Une obligation à court terme sera, de même, considérée comme plus sûre et distribua un coupon plus faible qu’une obligation à long terme, pour laquelle le remboursement est plus lointain.

Si les obligations offrent un coupon, elles peuvent aussi prendre de la valeur et offrir des gains en capital. C’est la seconde façon dont les obligations permettent un retour sur investissement.

Le risque de taux

Les obligations sont sensibles à la variation des taux d’intérêts, qui sont définis par les banques centrales (la FED aux États-Unis, la BCE pour la Zone Euro).

La politique des taux d’intérêt est liée aux cycles économiques. Ils peuvent être abaissés pour encourager l’investissement, la consommation et la croissance, ou augmentés pour freiner l’endettement et réguler l’inflation.

Toute variation dans les taux d’intérêt impacte les obligations. On parle du risque de taux :

  • Lorsque les taux baissent, le prix des obligations augmente : les obligations déjà émises sont plus attractives que les nouvelles qui distribueront un coupon inférieur.
  • Lorsque les taux montent, le prix des obligations baisse : les nouvelles obligations sont plus rémunératrices avec un coupon plus élevé, elles deviennent donc plus attractives que les anciennes.
Relation inverse prix taux d'intérêt obligations

Cette relation inverse entre taux et prix s’observe régulièrement, comme avec les obligations du Trésor américaines à moyen terme :

Source : https://darrowwealthmanagement.com/

Si la variation des taux d’intérêt n’impacte pas directement les obligations à taux fixe déjà émises (leur coupon ne change pas), elle les impacte indirectement en les rendant plus ou moins intéressantes par rapport aux obligations nouvellement émises, qui peuvent avoir un coupon différent.

Toutefois, d’autres facteurs que les taux d’intérêts peuvent impacter le prix d’une obligation : l’offre et la demande, le rendement jusqu’à l’échéance et le risque de crédit.

Maintenant, quel rapport avec la convexité d’une obligation ?

Nous avons vu que les prix et les taux ont une corrélation inverse (le prix des obligations baissent lorsque les taux montent, et inversement).

Or, il est possible de mesurer la variation du prix d’une obligation en fonction d’un changement de taux d’intérêt, grâce à la duration et à la convexité.

Un petit tour par la duration

La duration est une première façon d’estimer comment le prix d’une obligation peut changer en réponse à une variation de taux d’intérêt. Concrètement, la duration représente le temps moyen nécessaire pour qu’un investisseur puisse récupérer son investissement initial, sous la forme des coupons reçus pour son obligation.

La duration exprime le pourcentage de variation de prix d’une obligation pour chaque variation de 1% des taux d’intérêt. Plus la duration d’une obligation est élevée, plus elle sera sensible aux taux d’intérêts.

Par exemple, une obligation avec une duration de 3 verra son prix augmenter/diminuer de 3% si les taux d’intérêts varient de 1% (selon que les taux augmentent ou baissent), et de 6% si les taux varient de 2%. Si sa duration est de 2, son prix ne changera que de 2% pour une variation de taux de 1%.

La duration représente une relation linéaire entre prix et taux.

Duration d'une obligation
Source : https://www.ig.com/

Cependant, cette première estimation de la relation prix/taux est imparfaite :

  • Elle surestime la chute des prix d’une obligation occasionnée par une hausse des taux d’intérêt.
  • Elle sous-estime la hausse du prix d’une obligation occasionnée par une baisse des taux d’intérêt.

C’est pourquoi on utilise davantage la deuxième mesure, la convexité.

Définition de la convexité d’une obligation

Une représentation plus réaliste de la corrélation entre les prix et les taux prend la forme d’une courbe convexe :

Convexité d'une obligation
Source : https://www.ig.com/

La forme convexe montre que la relation entre prix et taux n’est pas linéaire, contrairement à ce qu’exprime la duration.

La convexité est une mesure qui reflète le degré de courbure, et qui permet d’évaluer la sensibilité du prix d’une obligation aux variations des taux d’intérêt. La convexité s’exprime en pourcentage, elle peut se calculer avec une formule mathématique, dont je vous fais grâce car il n’est pas nécessaire d’ajouter de la complexité.

De manière générale, plus la convexité est grande, plus la sensibilité à un changement de taux sera importante. Plus elle est faible, moins elle sera sensible à un changement de taux.

Elle induit que lorsque les taux sont déjà élevés, une variation de taux aura moins d’impact sur les prix que lorsque les taux sont faibles.

Aussi, les obligations à coupon élevé (high yield) sont souvent moins sensibles aux variations de taux, que les obligations dont le coupon distribué est faible. Il faudrait en effet que les taux augmentent fortement pour dépasser un coupon initialement élevé. Le risque qu’un changement de taux rende les obligations à haut rendement déjà émises moins attractives est donc plus faible.

Cependant, les obligations à coupon élevé ont un risque de défaut généralement plus important. Leur risque est alors différent : moins centré sur les taux, et davantage sur le risque de crédit.

Un cas à part : la convexité négative

La convexité est très souvent positive, et les cas de convexité négative (soit une courbe de forme concave) sont plus rares. Ils surviennent lorsque les prix d’une obligation plongent en même temps que les taux.

Ce cas de figure peut exister avec les obligations remboursables par anticipation. Lorsque les taux baissent, l’émetteur de l’obligation est incité à procéder à un remboursement anticipé, car il pourra alors réemprunter à un taux plus attractif. Cette incitation peut contrarier, voir inverser la hausse des prix habituellement associée à une chute des taux.

Si la probabilité de remboursement d’une obligation remboursable augmente, son prix peut stagner, comme dans l’exemple suivant (callable bond), voir baisser, tandis que les taux chutent.

Obligations : cas de convexité négative
Source : https://www.raymondjames.com/

Inversement, si les taux augmentent, l’émetteur d’une obligation remboursable sera incité à la conserver jusqu’à échéance, afin de repousser un prochain emprunt à un taux plus élevé.

Les effets de la convexité

La convexité vient casser une croyance bien ancrée parmi les investisseurs : lorsque les taux baissent, le rendement des obligations décroit, et elles deviennent donc moins intéressantes.

En réalité, lorsque les taux baissent, le coupon distribué décroit, mais le rendement total de l’obligation (coupon + gain en capital) augmente.

La convexité provoque d’ailleurs des effets surprenants : par exemple, une obligation avec un coupon négatif peut très bien avoir un rendement total positif (l’explication est un peu plus bas).

Détaillons un peu plus ses principaux effets, et ce qui fait varier la convexité.

Pourquoi les obligations à long terme sont-elles plus sensibles aux variations de taux d’intérêt ?

L’échéance d’une obligation va influer sur sa convexité : une obligation à long terme sera plus sensible à une variation de taux d’intérêt qu’une obligation à court terme.

En effet, si les taux changent, une obligation dont l’échéance est lointaine sera davantage impactée qu’une obligation dont l’échéance est proche, car son coupon annuel subira plus longtemps la variation de taux.

Prenons un exemple. Si vous détenez une obligation valant 1 000 €, et offrant un coupon de 4%, elle vous distribuera 40 € par an. Si l’échéance de cette obligation est de 20 ans, vous recevrez 40 x 20 = 800 € d’intérêt sur l’ensemble de la durée de vie de l’obligation.

Maintenant, imaginons que l’année suivante, les taux augmentent et passent de 4 à 5%. Cela signifie que de nouvelles obligations à échéance de 20 ans seront émises avec un coupon plus avantageux, qui distribuera 50 € chaque année. Si vous conservez votre obligation à 4% sur les 19 années restantes avant son échéance, vous subirez un manque à gagner de 10 € pour chaque coupon annuel distribué. Cela représente 190 € en 19 ans, si les taux ne changent plus par la suite.

Toutefois, si votre obligation n’avait pas une échéance initiale de 20 ans, mais de seulement 3 ans, une hausse des taux d’intérêt l’année suivante vous impactera beaucoup moins, puisque vous n’aurez à subir le manque à gagner que durant les 2 années restantes avant l’échéance de votre obligation (soit uniquement 2 X 10 € = 20 € de coupon en moins).

Revendre une obligation pour bénéficier d'un meilleur coupon
Allez-vous revendre votre obligation dont l’échéance initiale est de 3 ans,
afin de gagner 20 € de plus sur les deux coupons restants ?

Dans ce dernier cas de figure, vous pourrez très bien considérer que l’échéance de l’obligation est suffisamment proche pour ne pas vous embêter à revendre votre obligation afin d’en acheter une nouvelle, plus rémunératrice. Par contre, si vous devez attendre 19 ans avec un coupon inférieur à celui qui vous pourriez avoir, vous seriez bien plus susceptible de revendre votre obligation.

L’échéance d’une obligation influe donc sur la probabilité que certains investisseurs revendent leurs obligations lorsque les taux remontent. L’accroissement de l’offre fait alors baisser le prix des obligations qui sont ainsi vendues (loi de l’offre et de la demande).

Voilà pourquoi les obligations à long terme sont plus sensibles à une variation de taux : lorsque l’échéance de remboursement du capital est lointaine, il est plus intéressant de vendre/racheter pour s’ajuster aux variations de taux d’intérêt.

Inversement, si les taux étaient passés de 3 à 2%, vous auriez constaté que les nouvelles obligations rapportaient moins que la vôtre (20 € de coupon annuel contre 30 € pour la vôtre). En conséquence, non seulement vous auriez souhaité conserver votre obligation, mais d’autres investisseurs se seraient montrés intéressés pour vous la racheter à un prix supérieur. Ici, la pression à l’achat aurait favorisé les détenteurs d’obligations plus anciennes à coupon plus élevé : leur prix aurait augmenté.

Échéance, taux et convexité : les différents cas de figure

Pour bien comprendre les effets de l’échéance sur la convexité, le graphique suivant illustre des changements de taux, positifs ou négatifs, et leur répercussion sur le rendement total (coupon + gain en capital), en fonction de l’échéance d’une obligation.

Sensibilité des obligations aux taux d'intérêt
Source : https://portfoliocharts.com/

La convexité induit une asymétrie dans l’impact d’une variation de plus ou moins 1% sur les rendements totaux. Ainsi, une baisse des taux de 1% représente une hausse du rendement supérieure à la baisse occasionnée par une hausse des taux de 1%.

Cette asymétrie est de plus en plus importante, à mesure que l’échéance de l’obligation augmente (comme nous l’avons vu, les obligations à long terme sont bien plus sensibles aux variations de taux d’intérêt que celles à court ou à moyen terme).

Pourtant, l’échéance ne fait pas tout. On remarque aussi que lorsque les taux sont élevés, l’échéance d’une obligation a moins d’importance en cas de variation de taux. Ainsi, en période de taux élevés, le coupon distribué sera prépondérant dans le rendement d’une obligation, tandis que les variations de taux seront moins impactantes.

En revanche, en période de faibles taux d’intérêts, le montant du coupon devient secondaire, et le rendement des obligations sera bien plus influencé par les variations de taux d’intérêt.

On comprend alors qu’il est tout à fait possible qu’une obligation avec un coupon négatif ait un rendement total positif, si les taux venaient à baisser encore. Aussi, les raisonnements du type « les taux sont trop bas, les obligations ne rapportent plus rien » sont inexacts, car ils ne prennent en compte que le coupon, et non le rendement total.

Ce type de graphique pourra nourrir votre réflexion sur le rôle des obligations de différentes échéances dans un portefeuille, en fonction du niveau de taux d’intérêts en vigueur, et de leur évolution.

Ce que signifie la convexité pour votre portefeuille obligataire, et comment l’utiliser

La convexité (comme la duration) peut être utilisée comme une mesure du risque d’un portefeuille obligataire face aux variations de taux.

On pourrait intuitivement penser qu’une faible convexité est préférable à une convexité élevée, car si les taux bougent trop, les obligations feront le yoyo.

En période de taux bas, on pourrait également se dire qu’une convexité élevée serait synonyme de forte baisse de prix en cas de remontée des taux, et qu’ici aussi, il serait préférable d’investir dans des obligations à faible convexité.

Mais ce qui est vrai à court terme ne l’est pas forcément à long terme. Comparons deux obligations (A et B) ayant une convexité différente.

Comparaison convexité obligations

Ici, l’obligation A a une convexité supérieure. Si les taux d’intérêt sont faibles (on se place alors en haut à gauche du graphique), une remontée des taux fera davantage baisser le prix de l’obligation A que celui de l’obligation B. L’obligation A, plus sensible aux variations de taux, parait donc plus risquée à première vue.

Mais ce risque est uniquement valable à court terme. Si les taux continuent de remonter (on se place ensuite en bas à droite du graphique), c’est maintenant l’obligation B qui voit son prix chuter plus fortement que celui de l’obligation A.

Conclusion : sur le long terme, une obligation avec une forte convexité pourrait finalement mieux résister à une hausse prolongée des taux qu’une obligation ayant une faible convexité. Contre-intuitif ? Et pourtant…

Vous pouvez utiliser la duration et la convexité pour décider de la répartition de votre allocation en obligations. Tout dépend alors de votre horizon d’investissement.

Si vous prévoyez de conserver vos obligations jusqu’à leur échéance, la convexité n’aura aucun impact sur votre portefeuille obligataire : vous récupérerez le capital investi (si tout va bien).

Une petite précision s’impose ici : les fonds obligataires ne conservent jamais leurs obligations jusqu’à échéance. Ils les revendent souvent avant la fin pour en acheter de nouvelles, afin de conserver un bon équilibre dans les échéances. Investir dans un fonds obligataire et le conserver à long terme ne permet donc pas d’éluder la convexité.

En revanche, si vous prévoyez de ne pas conserver vos obligations jusqu’à leur terme (soit parce que vous les revendez, soit parce que vous investissez via un fonds obligataire), leur prix de vente pourra fluctuer. La convexité pourra alors vous aider à anticiper ce qui pourrait se passer suite à de petites variations de taux.

Vous pouvez ainsi estimer votre exposition au risque de taux à court et à long terme grâce à la convexité, et essayer de répartir vos obligations en fonction des prévisions de variation des taux d’intérêt.

La convexité dans un portefeuille global

Les portefeuilles sont habituellement construits sur la base d’un mix actions/obligations, qui varie selon le niveau de risque recherché. Il s’agit de l’allocation d’actifsLes obligations, non corrélés aux actions, servent à tempérer la volatilité.

Lorsque les taux sont faibles, les investisseurs pourraient se réjouir que les obligations soient plus volatiles (notamment celles à long terme), car cela les rend plus efficaces pour contrer la volatilité des actions.

Ainsi, en période de taux bas, il peut être envisageable de réduire la proportion d’obligations, tout en investissant dans celles ayant une plus longue échéance, et de faire l’inverse en période de taux élevés.

Bien entendu, il ne s’agit que d’un raisonnement théorique, qui ne peut se suffire à lui-même. Comme nous l’avons signalé en début d’article, d’autres facteurs que les changements de taux peuvent affecter les obligations, ainsi que les autres actifs d’un portefeuille. La définition d’une stratégie ne peut donc pas se baser sur un facteur isolé en particulier.

Toutefois, si cette histoire de convexité vous a quelque peu embrouillé l’esprit, et que vous avez un peu décroché en route, c’est largement compréhensible ! Pour autant, si vous souhaitez simplement éviter les cas de figure extrême et réduire votre exposition au risque de taux, comment faire ?

La réponse reste la diversification. Il s’agit certes d’une réponse un peu passe-partout en investissement, mais qu’il s’agisse d’actions, d’obligations, ou d’autres actifs, la diversification nous empêche de faire des erreurs rédhibitoires.

Or, éviter les erreurs rédhibitoires est la seule façon de s’assurer de rester dans la partie, afin d’obtenir des rendements positifs au bout du compte.

Concernant la convexité des obligations, vous pouvez mixer les échéances (court et long terme, ou moyen et long terme) afin d’avoir une partie de votre portefeuille obligataire qui puisse profiter de la hausse des taux, et une autre qui profitera d’une baisse.

Vous pouvez aussi diversifier vos obligations dans différents pays, qui profitent souvent de taux différents (même pour les pays développés), et qui peuvent ne pas avoir la même politique de taux au même moment (certains pays peuvent augmenter les taux, et d’autres les baisser, voir les laisser inchangés). Cela vous permettra par la même occasion de vous exposer à plusieurs devises.

Ainsi, vous aurez en portefeuille des obligations qui ne réagiront pas toutes de la même manière au même moment, n’ayant pas la même sensibilité au taux, et qui ne subiront pas forcément les mêmes mouvements de taux. Cela devrait vous assurer un portefeuille obligataire plus résilient face au risque de taux.

Où trouver l’information sur la convexité ?

La convexité d’un fonds obligataire est généralement indiquée dans sa factsheet. Voici par exemple la convexité des fonds SPDR Barclays 1-3 Year Euro Government Bond, et Lyxor US Treasury 10+Y, dans leurs fiches d’information respectives.

Convexité SPDR Bloomberg Barclays 1-3 year Euro Government Bond
Source : State Street Global Advisor
Convexité Lyxor US Treasury 10+Y
Source : Lyxor

Comme attendu, le fonds obligataire de Lyxor a une plus grande convexité que le fonds de SPDR, car l’échéance des obligations qu’il contient est bien plus lointaine.

Cependant, tous les émetteurs de fonds n’indiquent pas forcément la convexité. Certains se contentent d’indiquer la duration. C’est par exemple le cas de DWS (Xtrackers), avec le fonds Xtrackers II Global Government Bond.

Convexité Xtrackers II Global Government Bond
Source : DWS

Même si la duration représente une relation prix/taux linéaire, et donc approximative (elle ne tient pas compte de l’évolution de la sensibilité aux taux en fonction du niveau des taux, comme la convexité), la duration effective reste une estimation correcte de la sensibilité d’une obligation s’il s’agit une petite variation de taux d’intérêt.

Certains émetteurs n’indiquent ni la convexité, ni la duration. Si vous ne trouvez pas l’information pour votre fonds obligataire, vous pouvez essayer d’estimer l’impact d’un changement de taux, en tenant compte des facteurs suivants :

  • L’échéance : une obligation à long terme aura une convexité plus grande qu’une obligation à court terme.
  • Le rendement du coupon : une obligation à haut rendement (high yield) aura une convexité souvent plus faible qu’une obligation à faible rendement.
  • Les taux d’intérêts actuels : selon leur niveau actuel (s’ils sont actuellement bas, vous pouvez vous attendre à une sensibilité plus forte que s’ils sont hauts, et inversement), selon leurs derniers mouvements et selon les annonces des banques centrales.

Enfin, le graphique de la partie « Échéance, taux et convexité » vous donne une vue d’ensemble complète sur les différents cas de figure possibles.

2 commentaires sur “La convexité d’une obligation

  1. Bonjour,
    Dans l’objectif de faire mon grand oral, pour le bac, sur la manière dont la convexité d’une obligation influence les marchés économiques, j’aimerai connaitre la formule mathématiques pour calculer la convexité.
    Merci d’avance pour votre réponse !

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